A - ĐẶT VẤN ĐỀ

I - LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1. Cơ sở khoa học
Toán học có vai trò và vị trí đặc biệt quan trọng trong khoa học kĩ thuật và đời sống, giúp con người tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác có hiệu quả. Thông qua việc học toán, học sinh có thể nắm vững được nội dung toán học và phương pháp giải toán, từ đó vận dụng vào các môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên. Hơn nữa Toán học còn là cơ sở của mọi ngành khoa học khác, chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong trường phổ thông, nó đòi hỏi người thầy giáo phải có mọi sự lao động nghệ thuật sáng tạo để có được những phương pháp dạy học giúp học sinh học và giải quyết bài toán.
Trong quá trình dạy toán ở THCS, qua kinh nghiệm dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, bồi dưỡng học sinh thi vào THPT và qua quá trình nghiên cứu, bản thân tôi đã hệ thống được phương pháp giải các dạng toán mà thiết nghĩ mỗi giáo viên toán cần trang bị cho học sinh để giúp các em giải tốt các bài toán khác góp phần nâng cao tư duy toán học, tạo diều kiện cho việc học toán nói riêng và trong quá trình học tập nói chung.
2. Cơ sở thực tiễn
Bài toán: Tìm điểm cố định mà một họ đường thẳng (Dm) luôn đi qua với mọi giá trị của tham số m là một bài toán tương đối khó và hay. Để giải tốt bài toán này đòi hỏi học sinh phải nắm chắc và biết tổng hợp khá nhiều kiến thức trong chương trình toán THCS. Chính vì vậy bài toán này thường được dùng trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi, hay thi vào THPT.
Trong SBT toán 9 (Tập I) có hai bài tập đề cập đến bài toán này, tuy nhiên khi yêu cầu học sinh giải bài tập này học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc định hướng cách giải, cả khi tiếp cận lời giải học sinh cũng rất mơ hồ về vấn đề này. Điều đó càng thôi thúc tôi phải làm thế nào để học sinh nắm chắc được cách giải bài toán này và hơn nữa có thể vận dụng kết quả của bài toán này để giải các bài toán khác hay hơn, khó hơn.
Là một giáo viên nhiều năm dạy môn toán tôi thấy rằng để học sinh nắm được cách giải bài toán này một cách nhẹ nhàng mà hiệu quả là người giáo viên phải cho học sinh bắt đầu từ điều dễ nhất, từ bài toán đơn giản nhất, qua đó hiều được vấn đề cơ bản của bài toán sau đó chốt lại phương pháp giải. Với tinh thần đó tôi xin trình bày với đồng nghiệp kinh nghiệm: "Rèn kĩ năng giải bài toán về điểm cố định của họ đường thẳng" cho học sinh trong môn Đại số 9.



II - MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Góp phần quan trọng trong việc giảng dạy toán học nói chung, đặc biệt là việc bồi dưỡng học sinh giỏi và học sinh thi vào lớp 10 THPT .
- Giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số bậc nhất, phương trình, hệ phương trình. Phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập.
III - PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán về hàm số bậc nhất.
- Thông qua nội dung phương pháp và các bài tập mẫu nhằm củng cố lý thuyết và phát triển trí tuệ cho học sinh.
- Rèn kĩ năng cho học sinh qua các bài tập đề nghị.
IV - PHẠM VI NGHIÊN CỨU VÀ SỬ DỤNG
- Bài toán tìm điểm cố định mà học đường thẳng (Dm) luôn đi qua với mọi (Đại số 9).
- Bồi dưỡng cho giáo viên dạy môn toán và học sinh lớp 9.


B - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1. Cơ sở lí luận:
- Bài toán tìm điểm cố định thường được cho dưới dạng sau:
Cho họ đường thẳng (Dm) : y = f(x, m) trong đó m là tham số. Tìm điểm cố định mà (Dm) đi qua khi m thay đổi.
- Để giải bài toán này trước hết học sinh cần phải biết:
Với mỗi giá trị của tham số m ta được một đồ thị của (Dm) tương ứng. Như vậy khi m thay đổi thì đồ thị của (Dm) cũng thay đổi theo hai trường hợp:
+ Hoặc mọi điểm của (Dm) đều di động.
+ Hoặc có điểm nào đó của (Dm) đứng yên khi (Dm) khi m thay đổi.
Những điểm đứng yên khi m thay đổi được gọi là điểm cố định mà họ đường thẳng (Dm) luôn đi qua với mọi m.
Như vậy yêu cầu đặt gia là ta phải tìm điểm cố định mà họ đường thẳng (Dm) luôn đi qua với mọi m.
Nếu A(x0 ; y0) là điểm cố định mà (Dm) luôn đi qua với mọi m thì y0 = f(x0, m) thỏa mãn với mọi m. Điều này có nghĩa là phương trình y0 = f(x0, m) có vô số nghiệm m.
Vậy để tìm điểm cố định của họ đường thẳng (Dm) luôn đi qua với mọi m ta thực hiện theo các bước sau đây:
- Đưa phương trình y = f(x, m) về dạng phương trình theo ẩn m dạng:
.
- Cho các hệ số bằng 0, ta được hệ phương trình
.
- Giải hệ phương trình
(*)
+ Nếu hệ (*) vô nghiệm thì (Dm) không có điểm cố định.
+ Nếu hệ (*) có nghiệm (x0 ; y0) thì điểm có tọa độ (x0 ; y0) là điểm cố định mà (Dm) luôn đi qua với mọi m.
2. Thực trạng:
- Với cơ sở lí thuyết của bài toán tìm điểm cố định là như vậy nên giáo viên thường áp đặt ngay lời giải tới học sinh, học sinh nắm bài thụ động, thường ghi nhớ một cách máy móc, không sâu.
- Để khắc phục vấn đề này giáo viên cần đưa ra những ví dụ, bài tập mang tính lí thuyết xây dựng cho học sinh hiểu phương pháp giải từ những bài tập đơn giản, đến bài tập cơ bản và áp dụng với những bài tập khó hơn. Qua đó học sinh cần nắm được những vấn đề sau :
+ Thứ nhất, học sinh phải hiểu được thế nào là điểm cố định của một họ đường thẳng (Dm) và tại sao lại gọi là điểm cố định.
+ Thứ hai, học sinh phải nắm được nếu điểm A(x0 ; y0) là điểm cố định của họ các đường thẳng (Dm) thì điểm A(x0 ; y0) phải thỏa mãn điều kiện gì ?
+ Thứ ba, để tìm được điểm cố định của một họ đường thẳng (Dm) cần phải thực hiện theo các bước nào ?
+ Thứ tư, ứng dụng của bài toán tìm điểm cố định ta có thể giải thêm những bài toán ở dạng nào ?
3. Các biện pháp tiến hành:
Trước hết giáo viên cần cho học sinh tìm hiểu về khái niệm điểm cố định mà một họ đường thẳng (Dm) luôn đi qua với mọi m.
Ví dụ 1:
Cho hàm số y = (m - 2)x + 3 , (m là tham số) có đồ thị là đường thẳng (d). Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng (d) luôn đi qua điểm
.
*Phân tích:
Bài toán yêu cầu phải chỉ ra với mọi m đường thẳng (d) luôn đi qua
, điều đó có nghĩa là tọa độ của điểm A luôn thỏa mãn hàm số với mọi m.
Giải:
Vì
ta thay x = 0 ; y = 3 vào hàm số y = (m - 2)x + 3 ta có:
3 = (m - 2). 0 + 3
0.m = 0 luôn đúng với mọi m.
Vậy với mọi m đường thẳng (d) luôn đi qua điểm
.
* Nhận xét: Với mỗi giá trị của m thì hàm số y = (m - 2)x + 3 có đồ thị là một đường thẳng. Khi m thay đổi thì đường thẳng (d) thay đổi, nhưng điểm
luôn thuộc đường thẳng (d). Do đó
được gọi là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi m.

Ví dụ 2:
Cho đường thẳng (Dm) có phương trình: (m + 2)x + (3 - m)y = 10. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng (Dm) luôn đi qua điểm B(2 ; 2).
Giải:
Vì B(2 ; 2) ta thay x = 2, y = 2 vào phương trình đường thẳng (Dm) ta có:
(m + 2).2 + (3 - m).2 = 10
2m + 4 + 6 - 2m = 10
0.m = 0 luôn đúng với mọi m.
Vậy với mọi m đường thẳng (Dm) luôn đi qua điểm B(2 ; 2).
* Nhận xét: Qua ví dụ trên ta thấy khi thay tọa độ điểm B vào phương trình đường thẳng (Dm) thì tọa độ của B luôn thỏa mãn phương trình đường thẳng với mọi m, nghĩa là ta biến đổi được phương trình ẩn m có dạng : 0.m = 0, phương trình này có nghiệm là mọi m.
Vậy nếu chỉ cho ta phương trình đường thẳng (Dm) tam có tìm được tọa độ của điểm mà đường thẳng (Dm) luôn đi qua với mọi giá trị của m hay không? Ta xét tiếp ví dụ sau:
Ví dụ 3:
Cho họ đường thẳng (Dm) có phương trình:
(m - 2)x + (2m - 1)y = 2m - 1 (m là tham số)
Tìm điểm cố định mà đường thẳng (Dm) luôn đi qua với mọi số thực m.
Phân tích:
Khác với các ví dụ trên, ở ví dụ này chưa cho biết điểm cố định mà đường thẳng (Dm) luôn đi qua với mọi m. Tuy nhiên nếu ta giả sử A(x0 ; y0) là điểm cố định mà đường thẳng (Dm) luôn đi qua với mọi giá trị của m thì khi đó thay tọa độ của A vào (Dm) phải luôn đúng với mọi m.
Giải:
Giả sử A(x0 ; y0) là điểm cố định mà đường thẳng (Dm) luôn đi qua với mọi giá trị của m. Thay x = x0 ; y = y0 vào phương trình (Dm) phải thỏa mãn với mọi m. Nghĩa là với mọi số thực m, ta có:
(m - 2)x0 + (2m - 1)y0 = 2m - 1

mx0 - 2x0 + 2my0 - y0 - 2m + 1 = 0

(x0 + 2y0 - 2)m - 2x0 - y0 + 1 = 0 (*) nghiệm đúng với mọi m.
Phương trình (*) nghiệm đúng với mọi giá trị của ẩn m, do đó phải có các hệ số đều bằng 0, nghĩa là:




Vậy ta có điểm A(0 ; 1) là điểm cố định mà họ đường thẳng (Dm) luôn đi qua với mọi số thực m.
* Nhận xét: Như vậy để tìm điểm cố định mà họ đường thẳng (Dm) luôn đi qua với mọi m, ta coi điểm cố định đó là A(x0 ; y0 ) sau đó thay vào phương trình đường thẳng (Dm) và tìm điều kiện để phương trình này có vô số nghiệm m. Qua đó tìm được x0 và y0 rồi suy ra tọa độ của điểm cố định A.
Ví dụ 4: (Bài tập 4.4 SBT trang 67)
Cho hàm số
(d).
Chứng minh rằng, với mọi giá trị
, các đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định. Hãy xác định tọa độ điểm cố định đó.
Giải:
Gọi điểm cố định mà các đường thẳng (d) đều đi qua là
.
Ta có:










(*)nghiệm đúng với mọi m.
Phương trình (*) nghiệm đúng với mọi giá trị không âm của
, do đó ta có:




Vậy với mọi giá trị
các đường thẳng (d) đều đi qua điểm cố định
.
Ví dụ 5:
Cho đường thẳng (m2 + m)x + (m2 + 1)y = 2m + 2 (Dm). Tìm điểm cố định mà họ đường thẳng (Dm) luôn đi qua với mọi m.
Giải:
Gọi A(x0 ; y0) là điểm cố định mà họ các đường thẳng (Dm) luôn đi qua với mọi m.
Ta có:
(m2 + m)x0 + (m2 + 1)y0 = 2m - 2

m2 x0 + mx0 + m2y0 + y0 - 2m + 2 = 0

(x0 + y0)m2 + (x0 - 2)m + y0 + 2 = 0 (*) nghiệm đúng với mọi m.
Để phương trình (*) luôn đúng với mọi m thì:


Vậy A(2 ; -2) là điểm cố định mà họ các đường thẳng (Dm) luôn đi qua với mọi m.
Ví dụ 6:
Cho đường thẳng (m2 + m)x - (m2 + 1)y = 3m + 4 (Cm). Tìm điểm cố định mà họ đường thẳng (Cm) luôn đi qua với mọi m.
Giải:
Gọi H(x0 ; y0) là điểm cố định mà họ các đường thẳng (Cm) luôn đi qua với mọi m.
Ta có:
(m2 + m)x0 - (m2 + 1)y0 = 3m + 4

m2 x0 + mx0 - m2y0 - y0 - 3m - 4 = 0

(x0 - y0)m2 + (x0 - 3)m - y0 - 4 = 0 (*) nghiệm đúng với mọi m
Để phương trình (*) luôn đúng với mọi m thì:

. Do 3
-4
Hệ phương trình vô nghiệm.
Vậy không có điểm cố định để họ các đường thẳng (Cm) đi qua với mọi giá trị của m.
Ví dụ 7:
Cho hàm số y = (2m - 1)x - 4m + 4 có đồ thị là đường thẳng (d). Tìm m để khoảng cách từ O(0 ; 0) đến đường thẳng (d) đạt giá trị lớn nhất.
* Phân tích:
Trước hết ta xét xem đường thẳng (d) có luôn đi qua một điể