12

P'

N'
N

β

M'

α
P

M
Hình 4.11

Để đo chiều cao của một toà lâu
đài (H.4.11), người ta đặt giác kế
thẳng đứng tại điểm M. Quay ống
ngắm của giác kế sao cho nhìn thấy
đỉnh P' của lâu đài dưới góc nhọn 𝜶 .
Sau đó, đặt giác kế thẳng đứng tại N,
NM = 20m, thì nhìn thấy đỉnh P' dưới
góc nhọn . Biết chiều cao giác kế là
1,6m, hãy tính
chiều cao của toà lâu đài.

1 . HỆ THỨC GIỮA CẠNH HUYỀN VÀ CẠNH GÓC VUÔNG.

 Công thức tính cạnh góc vuông theo cạnh huyền và sin, côsin của các góc nhọn.

Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền a và các cạnh góc vuông
b, c (H.4.12)
a) Viết các tỉ số lượng giác sin, côsin, của góc B và góc C theo độ dài các
cạnh của tam giác ABC.
b) Tính mỗi cạnh góc vuông b và c theo cạnh huyền a và các tỉ số lượng
giác trên của góc B và góc C.
A

a) Xét ∆ABC vuông tại A, theo định nghĩa tỉ osos
lượng giác sin, côsin và định lí tỉ số lượng giác
của hai góc phụ nhau, ta có:

AC b
AB c
sin B  cosC 
 ; cosB  sinC 

BC a
BC a
b
sin B  cosC   b a sin B a cosC
b) Ta có :
a

b

c

B

a
Hình 4.12

C

1 . HỆ THỨC GIỮA CẠNH HUYỀN VÀ CẠNH GÓC VUÔNG.

 Công thức tính cạnh góc vuông theo cạnh huyền và sin, côsin của các góc nhọn.

 Định lí 1 : Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông

bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với
côsin góc kề.
 Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có :

b a.sin B a.cosC
c a.sinC a.cosB

1 . HỆ THỨC GIỮA CẠNH HUYỀN VÀ CẠNH GÓC VUÔNG.

1

Một chiếc máy bay bay với vận tốc 500km/h. Đường bay lên tạo
với phương nằm ngang một góc 300 (H.4.13). Hỏi sau 1,2 phút, máy
bay lên cao được bao nhiêu kilomet theo phương thẳng đứng?
B

 Giả sử trong Hình 4.13, AB là đoạn đường máy
bay bay lên trong 1,2 phút thì BH chính là độ
cao máy bay đạt được sau 1,2 phút đó.
Ta có : 1,2 phút = giờ nên :

1
AB  500.
10km
50

Tam giác ABH vuông tại H, có .
Theo định lí 1 ta có :

1
BH  AB .sin A 10.sin30 10.  5(km)
2
0

Vậy sau 1,2 phút , máy bay lên cao được 5km.

50

h
m/
k
0

300

A

Hình 4.13

H

1 . HỆ THỨC GIỮA CẠNH HUYỀN VÀ CẠNH GÓC VUÔNG.

1

1. Một chiếc thang dài 3 m. Cần đặt chân thang cách chân
tường một khoảng bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến số thập
phân thứ hai) để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn”
65° (tức là đảm bảo than chắc chắn khi sử dụng) (H.4.14)

 Xét ∆ABC vuông tại C, theo định lí 1, ta có:

BC  AB .cosB  3.cos650 1, 27(m)
Vậy cần đặt chân thang cách chân tường một
khoảng 1,27 m để bó tạo được với mặt đất một
góc “an toàn” 65°.

3m

650

Hình 4.14

1 . HỆ THỨC GIỮA CẠNH HUYỀN VÀ CẠNH GÓC VUÔNG.

 Kí hiệu các đỉnh tam giác như hình vẽ
Xét ∆ABC vuông tại A, theo định nghĩa tỉ số
lượng giác côsin, ta có:

AB 250 25
cos 


BC
320 32

C

A
250m

1

2. Một khúc sông rộng khoảng 250m. Một con đò chèo qua
sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320 m mới
sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy con đò đi lệch
một góc 𝜶 bằng bao nhiêu độ (làm tròn đến phút )? (H.4.15)

B

   38037'

Vậy dòng nước đã đẩy con đò đi lệch một góc α ≈ 38°37'.

α

0
32

m

Hình 4.15

2 . HỆ THỨC GIỮA HAI CẠNH GÓC VUÔNG

 Công thức tính cạnh góc vuông theo cạnh góc vuông kia và tang, côtang của các
góc nhọn.

Xét tam giác ABC trong Hình 4.16
a) Viết các tỉ số lượng giác tang, côtang của góc B và góc C theo b, c
b) Tính mỗi cạnh góc vuông b và c theo cạnh góc vuông kia và các tỉ số
lượng giác trên của góc B và góc C.
A

a) Xét ∆ABC vuông tại A, theo định nghĩa tỉ số lượng
giác và định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ
nhau, ta có:

AB c
AC b

tan B  cotC 
 ; tanC  cot B 
AC b
AB c
b
b) Ta có :
tan B  cotC   b c.tan B c.cotC
c
c
tanC  cot B   c b.tanC b.cot B
b

b

c

B

a
Hình 4.16

C

2 . HỆ THỨC GIỮA HAI CẠNH GÓC VUÔNG

 Công thức tính cạnh góc vuông theo cạnh góc vuông kia và tang, côtang
của các góc nhọn.
 Định lí 2 : Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông

bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc
nhân với côtang góc kề.
A

 Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có :

b c.tan B c.cotC
c b.tanC b.cot B

b

c

B

a
Hình 4.16

C

2 . HỆ THỨC GIỮA HAI CẠNH GÓC VUÔNG

2

Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 340 và
bóng của một toà tháp trên mặc đất dài 8,6m (H.4.17) . Tính
chiều cao của toà tháp đó (làm tròn đến mét)
 Ta nhận thấy đường cao của tháp đối
diện với góc 340. Theo định lí 2, ta có :
0

h  8,6.tan34  6(m)
Vậy chiều cao của tháp là khoảng 6m
Hình 4.17

2 . HỆ THỨC GIỮA HAI CẠNH GÓC VUÔNG

2

Bóng trên mặt đất của một cây dài 25m . Tính chiều cao của
cây (làm tròn đến dm) , biết rằng tia nắng mặt trời tạo với mặt
đất một góc 400 (H.4.18)

 Ta nhận thấy chiều cao h của cây đối diện
với góc 40° (góc tạo bởi tia nắng mặt trời và
bóng của cây trên mặt đất).
Ta có :
0

h  25tan40  20,9775(m) 210(dm)
Vậy chiều cao của tháp là khoảng 210 dm.

Hình 4.18

3 . GIẢI TAM GIÁC VUÔNG .

3

Cho tam giác vuông ABC với các cạnh góc vuông (H.4.19). Hãy
tính cạnh BC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) và các
góc B, C (làm tròn đến độ)
C

 Xét tam giác ABC vuông tại A
• Cách 1: Theo Pythagore, ta có :

BC  AB 2  AC 2  52  82  9,4
AB 5
tanC 
  0,625
AC 8
  320 
  900  320  580
0
C
;
B

90

C
Suy ra :

8

A

5
Hình 4.19

• Cách 2 : Sau khi tìm được , ta tính cạnh BC
AB
5
5
0
sin32  sinC 

 9,4
Suy ra : BC 
0
BC BC
sin32

B

3 . GIẢI TAM GIÁC VUÔNG .

 Giải tam giác vuông là gì ?

 Trong một tam giác vuông, nếu cho biết trước hai cạnh
(hoặc một góc nhọn và một cạnh) thì ta sẽ tìm được tất
cả các cạnh và các góc còn lại của tam giác vuông đó.
Bài toán này gọi là bài toán Giải tam giác vuông.

3 . GIẢI TAM GIÁC VUÔNG .

 CÂU HỎI:

1. Hãy nêu cách giải tam giác ABC vuông tại A khi biết hai cạnh , hoặc
và không sử dụng định lí Pythagore (H.4.21)
2. Hãy nêu cách giải tam giác ABC vuông tại A khi biết cạnh góc vuông
AB (hoặc cạnh huyền BC) và góc B.
C

1. Trường hợp biết AB = c và AC = b, ta cần tính BC và
các góc của tam giác.

AC b

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có : tan B 
AB c

Từ đó ta tính được góc B, và tính được góc C thông qua
định lí tổng ba góc của một tam giác.
Ta có :

AC
b
AC BC .sin B  BC 

sin B sin B

a

b

A

c
Hình 4.21

B

C

3 . GIẢI TAM GIÁC VUÔNG .

• Trường hợp biết AB = c và BC = a, ta cần tính AC và các
góc của tam giác.

AB c
Xét ∆ABC vuông tại A, ta có : cosB 

BC a
Suy ra góc B và sau đó là góc C
Sử dụng định lí 1, ta có :

AC  BC .sin B a.sin B

b

A

• Trường hợp biết cạnh góc vuông AB và góc B, ta cần tính
số đo góc C và các cạnh AC, BC:
Ta tính được góc C thông qua định lí tổng ba góc của một tam giác.
Ta tính được góc C thông qua định lí tổng ba góc của một tam giác.

AB
Xét ∆ABC vuông tại A, ta có : AB  BC .cosB  BC 
cosB
Sử dụng định lí 2, ta có : AC  AB .tan B

a

c
Hình 4.21

B

3 . GIẢI TAM GIÁC VUÔNG .

Giải bài toán ở Tình huống mở đầu với
 Xét ∆M'P'H vuông tại H, theo định lí 2, ta có:
M 'H P 'H .cot 
Xét ∆N'P'H vuông tại H, theo định lí 2, ta
có:
N 'H P 'H .cot 
Mà N'H = N'M' + M'H = MN + M'H

N'

A

N

Do đó : P 'H .cot   MN  P 'H .cot 

MN
20

Suy ra : P 'H .(cot   cot  )  MN  P ' H 
cot   cot  cot   cot 
20
20
 1,6 
 1,6  22,84 (m)
0
0
cot   cot 
cot19  cot27
Vậy chiều cao của tòa nhà là khoảng 22,84 (m).

Vậy : P 'P  P 'H  HP 

4.8

Giải tam giác ABC vuông tại A có trong các trường hợp
sau :
a)
b)
c)
B

a) Xét ∆ABC vuông tại A, ta có :

AB 2  BC 2  AC 2  212  182 117

21

 AB  117  3 13
Theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, ta có :

b 18 6
sin B   
a 21 7

  590
 B

A

18

 1800  (A
 B
 ) 1800  (900  590)  3100
Trong tam giác ABC , ta có : C
Vậy tam giác ABC có : , ,

C

4.8

Giải tam giác ABC vuông tại A có trong các trường hợp
sau :
a)
b)
c)
B

b) Trong tam giác ABC , ta có :




0
B 180  (A  C ) 1800  (900  300)  600
Theo định lí 2, ta có :

10 3
AB AC .tanC 10.tan30 
3
0

Theo định lí 1, ta có :

AC BC .cosC

AC
10
20 3
 BC 


0
cosC
3
cos30
Vậy tam giác ABC có : , ,

300

A

10

C

4.8

Giải tam giác ABC vuông tại A có trong các trường hợp
sau :
a)
b)
c)
B

c) Xét ∆ABC vuông tại A, ta có :

BC 2  AB 2  AC 2  52  32  34

 BC  34

5

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác tan, ta có :

AC 3
tan B 

AB 5


 B  3100

A

3

 1800  (A
 B
 ) 1800  (900  3100)  5900
Trong tam giác ABC , ta có : C
Vậy tam giác ABC có : , ,

C

4.9

Tính góc nghiêng 𝜶 của thùng xe chở rác trong Hình 4.22

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác cos, ta có

4
cos 
   36052'
5
Vậy góc nghiêng α của thùng xe chở rác
khoảng 36°52'.

4m
α

5m
Hình 4.22

4.10

Tính góc nghiêng 𝜶 và chiều rộng AB của mái nhà kho
trong Hình 4.23.

 BCDE là hình chữ nhật nên BE = CD = 15 m.
Xét ∆ABE vuông tại E, theo định nghĩa tỉ
số lượng giác tan, ta có:

AE 0,9
tan B 

 0,06
BE
15

  30026'
 B
A

Xét tam giác ABE vuông tại E, ta có :
2

2

Hình 4.23

2

2

AB  AE  BE  0,9  15 15,027(m)

0,9
α

E

Vậy góc nghiêng của mái nhà kho khoảng 3°26'
và chiều rộng của mái nhà kho khoảng 15,027 m.

B

15

D

C

4.11

Tính các góc của hình thoi có hai đường chéo dài và 2

 Theo tính chất hình thoi , ta có : AC ⊥ BD;
O là trung điểm của AC, BD.
Xét ∆OAB vuông tại O, ta có :

B
A

BD 2
AC 2 3
 1
OA 

 3 ; OB 
2
2
2
2

Xét ∆OAB vuông tại O, ta có :

OB
1


tan BAO 

 BAO  300
OA
3



0
0
0
0
0
Ta có : ABO 180  (AOB  BAO) 180  (90  30 )  60
Theo tính chất hình thoi, ta có :

 D
  2.ABO

 C  2.BAO

1200
A
 600 ; B

O

D
2 3

C2

Cho hình thang ABCD (AD//BC) có , BC = 4cm và
a) Kẻ đường cao CE của tam giác ACD. Chứng minh Tính sin của
các góc và suy ra . Tính AC
b) Tính góc D của hình thang.

4.12





a) Ta có : ADC
 DCE
 900 ; ACE
 DCE
 900




B 4cm



 ADC
ACE
(1)
AC

Xét ACD vuông tại E, có : sin ADC 
(2)
AD
A
AE

sin ACE 
(3)
AC
AC AE
Từ (1), (2) và (3) suy ra :

 AC 2  AE .AD
AD AC

C

E

Tứ giác ABCE có nên nó là hình chữ nhật, vậy AE = BC = 4cm

 AC 2  AE .AD  4.16  64

 AC 8(cm)

16cm

D

4.12

Cho hình thang ABCD (AD//BC) có , BC = 4cm và
a) Kẻ đường cao CE của tam giác ACD. Chứng minh Tính sin của
các góc và suy ra . Tính AC
b) Tính góc D của hình thang.
B 4cm

C

b) Theo câu a) ta có :

AC
8 1

sin ADC 
 
AD 16 2


 D  ADC  3000

A

E

16cm

D

4.13

Một người đứng tại điểm A, cách gương phẳng đặt nằm trên mặt
đất tại điểm B là 1,2m , nhìn thấy hình phản chiếu qua gương B
của ngọn cây (cây có gốc tại điểm C cách B là 4,8m , B nằm giữa A
và C) . Biết khoảng cách từ mặt đất đến mắt người đó là 1,65m.
Tính chiều cao của cây (H.4.24)
E

 Xét ABD vuông tại A, ta có :

AD 1,65 11

tan ABD 


AB
1,2
8

11



Ta có : CBE  ABD  tanCBE 
8

Xét BCE vuông tại C có :


11
CE  BC .tanCBE
 4,8.
4,8.  6,6(m)
8

Vậy chiều cao của cây là 6,6 m.

D
1,65

A 1,2 B

4,8
Hình 4.24

C